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    【师说心语】夏新桥老师告诉你:最美不过数学课--试试这样来解题

    【师说心语】 最美不过数学课

    【编者按】

    提起数学,就好像提起榴莲。爱它的人看它千遍万遍也不够;不爱的人,听到名字就头痛牙痒逃之夭夭。也有人说:数学学科的学霸,都是绝顶聪明的人!脑袋不好用的人,再努力效果也不咋样。真的如此吗?非也。其实,数学成绩你也可以棒棒哒,秘诀就是:熟练地掌握解题思路。不信?请听夏新桥老师为你细细道来……

    【责任编辑】邓雪

    ------------------------------------

    试试这样来解题

    ——浅谈数学解题过程

    数学科组 夏新桥

    师:你觉得数学的特点是什么?

    生:有很多习题!

    师:回答完全正确,加10分!

    生:怎样才能成为解题高手?

    师:啊,这……你把我考住了!说来不易话也长,就长话短说吧,更多地要靠你自己去摸索和实践……

    数学,离不开解题。有的人喜欢解题,越解越过瘾,根本停不下;有的人讨厌解题,面对问题,看着公式定理,一筹莫展,越做越烦,越做越怕,最后干脆脑子拒绝运转!

    题山题海解不完,所以掌握科学的思考方法,高效解题尤为重要。

    爱因斯坦说过:“走出校门后,把学校里学的知识全部忘记,剩下的就是教育。”这话当然不是在否定学校教育,而是有更深一层的意思:对学生而言,有比知识更重要的东西要学——掌握学习知识的方法。拿数学这门课而言,一个概念、定理的内容你可能忘记,但是一些数学的思维方法,探索过程,可得深深地刻在你的脑海里。头脑里有思想,面对数学问题就不会感到茫然,解题效率就会提高,解题的兴趣也会越来越浓厚。

    具体说说吧。

    首先,要掌握重要的数学思想,如转化思想、方程思想、函数思想、数形结合思想、分类思想、整体思想等。学了十几年的数学,头脑里没有数学的思想,那数学就是白学了。有思想的指引,思考就有了方向。其次,还要掌握一些重要的数学方法,如恒等变形的方法,逻辑推理的方法等。有了这些底子,我们再来探讨数学解题的思维过程,看看如何高效地解题。

    数学解题过程一般分为四个步骤:理解题目(审题)、拟订方案(选择解法)、执行方案(解题)、回顾(检验、反思、、应用)。

    下面,我以“三角形的中位线定理”为例,说明以上过程。

    1、理解题目

    问题提出:连接三角形两边中点的线段,叫三角形的中位线,三角形的中位线有什么性质?

    现在我们要实施的是第一个步骤——理解题目。

    ①已知的条件是什么(包含明显的、隐含的)?一共有几个?把文字语言转化为图形语言和符号语言。

      文字语言 图形语言 符号语言
    已知 三角形两边分别取中点,相连,得中位线

    AD=DB

    AE=EC

    DE是中位线

    ②结论是什么?一共有几个?其数学含义是什么?我们考察中位线跟第三边BC之间的关系,一个是位置关系,一个是数量关系。通过观察测量,不难发现:中位线平行于第三边,并且等于第三边的一半。

      文字语言 图形语言 符号语言
    求证 三角形的中位线,平行于第三边,并且等于第三边的一半。 DE//BC, DE=BC/2

    ③弄清题目的条件和结论有哪些数学联系?是一种什么样的结构?从结论来看,要证明一条线段等于另一条线段的一半,而条件中有两个线段的中点,都涉及线段的倍半关系,所以我们应该在这两个中点上大做文章。

    好了,题目的条件和结论都弄清楚了,就识别了题型,哦,“截长补短”的解法呼之欲出,招之即来。

    2、拟订方案

    这是一个探索解题思路的过程。怎样证明一条线段等于另一条线段的一半?怎样证明两条直线平行?你以前见过类似的问题吗?

    见过!用“截长补短”法证明线段的倍半关系!

    见过!用同位角、内错角或同旁内角证明平行关系!我们为什么把这个定理安排在《平行四边形》这一章来讲解呢?哦,证明线段的相等和平行关系还可以考虑平行四边形!

    考虑把线段DE向右延长一倍到F,设法证明DF与BC平行且相等,要证明四边形DFCB的对边平行且相等,自然联想平行四边形,所以只要证明DFCB是平行四边形。如何证明它是平行四边形呢?把眼光转移到另一组对边,只要证明CF与BD平行且相等!

    注意条件AD=DB!所以只要证明CF平行且等于AD,只要证明ADCF是平行四边形。

    注意条件AE=EC!

    注意你的辅助线EF=DE也是条件!

    对角线互相平分的四边形当然是平行四边形,有了!

    经过上述分析,就把原问题归结为平行四边形的判定与性质问题。

    所以,“拟定方案”的过程,就是通过不断的转化,把原问题转化为容易解决的问题。

    3、执行方案

    把你的思路整理好,把证明过程用文字具体而清晰地表达出来,做到因果关系明确,层次分明,书写规范。

    4、回顾

    回顾,就是解题后的反思。通常,我们的同学一写完答案就万事大吉,马不停蹄去赶下一道题,这样很不好。宁可少做几道别的题,也要多多反思做过的题!主要从几个方面去反思:

    ①复查检验:有无错漏?因果关系是否明确?是否想当然地用了题目不具备的条件?

    ②这里用到了哪些方法?困难在哪里?关键在何处?如补短的方法,构造平行四边形的方法。有些同学死死抱住“全等”不放,虽然也可以做,但不如用平行四边形简洁。因为平行四边形的判定和性质都是用全等的方法证过了,能直接引用就尽量直接引用,从而简化过程,优化思维。

    ③是否还有别的方法?比如用“截长”的方法是否可证明?如取BC边的中点如何?或者过点E做AB的平行线能否证明出来?这样的辅助线能否得出有用的结果?困难在哪里?又如:能否利用面积关系来证明呢?以后学了相似三角形,是否还有新的解决方案?其实,面对问题,我们往往要做一些尝试,有些思路未必行得通,需要调整,比如取边BC的中点就行不通,因为做了这个辅助线等于还是回到了原问题,截长不行就改为尝试补短。失败是成功之母,如果不敢于尝试,就永远没有成功的机会。

    ④解决本题的方法是否具有一般性?遇到别的同类问题是否用得上?

    ⑤怎样运用“中位线定理”解决其它问题?

    ⑥提出新问题:它的某个逆命题是否正确。如经过边AB的中点D作边BC的平行线交边AC于E,那么E点是否恰为AC边的中点?如果成立,如何证明?原命题的证明思路是否可以借鉴?某些地方是否需要调整?这个结论是否有应用价值?如果不成立,能否举出反例?再比如,从三角形联想到梯形,梯形可以定义“中位线”吗?如何定义?梯形的中位线又有什么性质呢?如何证明呢?跟三角形的中位线有没有什么联系呢?再到任意四边形,以后到高中,学到向量,还可以继续探索。从向量的角度来看,任意四边形的“中位线”又有什么性质呢?……

    你看,可以回顾反思的东西实在太多了,如果你只顾沉浸在解题成功的喜悦之中而忽略做充分的反思,那么你的损失就太大了。

    好多同学不重视课本上定理的证明过程,以为知道、记住结论,然后加以运用就够了,这种想法是特别有害的。定理其实是最好的习题,它蕴含着丰富的数学思想,它的探索过程,它的证明方法都是最经典的,最有营养的,最有价值的,也最容易迁移于解决其它问题的。如果像记历史人名或地理地名一样去记数学公式定理,就很容易把数学学死了,最后你的脑筋就真的转不动了。

    曾经问过好多学生:扇形的周长和面积公式是怎样的?答:不记得了!当时是死记硬背的,中考一考完就丢了!如果当时认真地探索过,证明过,反思过,那就完全不一样了。即便忘了,可以现推出来的!因为你的头脑里有数学思想——转化为圆的周长与面积问题!

    面对一道数学题,首先要充满信心,按照上述四个步骤去做,你就更有信心。

    送给大家英国女诗人罗赛蒂的小诗:

    《我想试试》

    那个说“我想试试”的小孩,

    他将登上山巅,

    那个说“我不成”的小孩,

    在山脚下停步不前。

    “我想试试”每天办成很多事,

    “我不成”就真的一事无成。

    因此你务必说“我想试试”,

    将“我不成”弃于尘埃。

    最后,我给大家留一个问题:画出三角形的三条中线,你有什么发现?你能证明自己的猜想吗?

    【夏新桥老师说】希望本文对同学们提升数学解题能力有所帮助,课外你可以阅读美国著名数学家G·波利亚的名著《怎样解题》(上海教育出版社),你将会有更多的收获。其实,我的上述文字,就是参照《怎样解题》这部名著的思想来写的!